五次多项式模型

SVI 是拟合波动率微笑的行业标准：5 个参数，每次拟合一个切片。但 SVI 内置了特定的形状假设：微笑始终是一条经过平移和缩放的双曲线。当市场呈现 SVI 无法生成的形态时，拟合质量就会下降。五次多项式模型（Gauthier & Possamai，2023）完全放弃了形状假设。它将总隐含方差拟合为对数价值状态的多项式，即一个具有 5 或 6 个系数的 4 次或 5 次多项式。它能拟合市场产生的任何微笑形态，包括 SVI 在结构上无法捕捉的形态。

💡

没有形状约束的 SVI

参数数量与 SVI 相同，同样逐个切片拟合。但 SVI 强制采用双曲线形状，而多项式让数据自己说话。代价是：您失去了 SVI 内置的两翼行为，并需要显式约束来保证无套利。偏斜与曲率是相互独立的调节旋钮。

实际演示

拖动滑块，探索每个系数如何塑造微笑。试试 'Double bump' 预设，看看 SVI 无法生成的形态。

五次多项式微笑曲线探索器

SVI 典型的抛物线形状。两翼对称，偏斜适中。

ATM 水平0.045

设定整体波动率水平

偏斜-0.015

使微笑曲线向左（看跌偏斜）或向右倾斜

曲率0.080

决定微笑曲线张开的宽度

不对称性-0.010

使一侧翼比另一侧更陡

翼部陡峭度0.020

控制两翼上升的速度。数值越高，尾部越陡。

试试“双峰”并切换“显示 SVI 参考曲线”，即可看到多项式能生成而 SVI 在结构上无法生成的形状。

工作原理

1. 将总方差表示为多项式

对于给定到期日 $T$，总隐含方差 $w(k) = \sigma^2(k) \cdot T$ 被建模为对数价值状态 $k = \log(K/F)$ 的多项式：

$$w(k) = c_0 + c_1 k + c_2 k^2 + c_3 k^3 + c_4 k^4$$

每个系数都有直接的交易员解读：

系数

交易员术语

控制内容

c0

ATM 水平

整体波动率水平。c0 越高，ATM 隐含波动率越高。

c1

偏斜

使微笑倾斜。负值 = 看跌偏斜（左翼更高）。

c2

曲率

微笑张开的宽度。控制蝶式策略的贵贱。

c3

不对称性

使一侧翼部比另一侧更陡。奇次幂效应。

c4

翼部陡峭度

控制极端行权价处翼部上升的速度。

2. 无套利约束只是简单的边界

要使多项式无套利（方差为正、看涨期权价格为凸），约束条件可以简化为系数上的不等式。无需复杂的数值检查，只需在拟合时对系数加以限制即可。

3. 拟合速度快

将多项式拟合到市场数据是一个最小二乘问题，可在微秒级完成求解。拟合会向流动性最高的ATM行权价加权。将系数边界作为线性约束加入后，就得到一个小型 QP（二次规划）问题，比 SVI 的非线性优化更快、更稳健。

ℹ️

更高次的多项式会在翼部振荡

6 次或 7 次多项式会在翼部发生振荡（龙格现象）。4 到 5 次的多项式有足够的灵活性来捕捉真实的微笑形态，同时不会在最后一个流动性行权价之外产生伪影。对于深度虚值翼部的行为，您需要显式的外推规则。

五次多项式与 SVI 对比

特性

SVI

五次多项式

每个切片的参数数

5

5（四次）或 6（五次）

形状假设

双曲线（内置）

无

拟合质量

适合典型微笑

可拟合任意形状

翼部外推

线性（有界）

多项式（发散）

无套利约束

复杂非线性

简单的系数边界

拟合方法

非线性优化

最小二乘 / QP

行业采用度

数十年应用

新模型（2023）

类 SSVI 的曲面版本

有（SSVI）

研究阶段

与加密货币的相关性

加密货币的微笑往往以 SVI 难以处理的方式呈现不对称：强制平仓连锁引发的陡峭看跌偏斜、空投期权性带来的看涨侧异常凸起，或在未平仓合约集中的热门行权价附近出现的'扭结'微笑。多项式模型无需强加双曲线结构即可拟合这些形态。由多项式微笑计算出的Delta和Vega在构造上就是平滑的。主要局限在于：加密期权的行权价较为稀疏，若约束不够谨慎，多项式可能在数据点之间表现异常。

💡

拥有 SVI 的简洁，却没有它的形状偏差

能拟合 SVI 在结构上无法生成的微笑。代价是：您失去了 SVI 表现良好的翼部外推，必须显式处理无套利约束。多到期日曲面需要单独的期限结构约束。最适合微笑形态异常或 SVI 拟合残差过大的市场。

公式探索器

在隐含波动率、总方差、对数价值状态和期权价格之间进行换算。

公式探索器

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

隐含波动率 (σ)

%

隐含波动率

距到期时间

天

距到期的日历天数

总方差 (w)

0.022225

年化方差 (σ²)

0.2704

反算 IV

52.00%

总方差是 SVI 等模型拟合的对象。它随时间增长，因此 30 天 50% 波动率的总方差小于 90 天 50% 波动率。

继续学习前先测试你的理解。

Q: 为什么五次多项式能拟合 SVI 无法拟合的微笑形态？

Q: 用多项式进行翼部外推的主要缺点是什么？

Q: 您正在为一个只有 6 个流动性行权价的加密资产拟合 3 天到期的切片。您会选择 SVI 还是多项式？

💡 提示： 先尝试自己回答每个问题，再查看答案。

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本课程将解释为什么多项式拟合能为您带来额外的微笑灵活性、总方差多项式如何运作，以及为什么一旦允许形状更自由地变化，更强的无套利检查就变得至关重要。

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另请参阅：

• SVI 参数化：本模型所扩展的行业标准参数化模型
• SSVI（曲面 SVI）：SVI 的日历一致曲面扩展
• SANOS（非参数曲面）：采用 LP 拟合的完全非参数方法
• 神经 SDE / 深度对冲：端到端学习动态的数据驱动方法
• 插值方法：所有方法的对比