路径依赖波动率（PDV）
本站介绍的每个模型都假设波动率取决于价格当前所处的位置，即当前价格水平，或许再加上当前的波动率状态。路径依赖波动率（Guyon & Lekeufack，2023）认为这还不够。波动率同样取决于价格曾经走过的位置。一个暴跌 10% 后反弹回 100 的币，交易表现并不相同。经历暴跌和反弹的币具有更高的隐含波动率、更陡峭的偏斜以及更宽的两翼，因为市场记得那次暴跌。
市场是有记忆的
如果 BTC 刚刚经历了 15% 的回撤，即使价格已经恢复，波动率仍会维持在高位。PDV 让波动率成为两个变量的函数：近期已实现波动率和近期价格趋势。这就是整个模型。波动率曲面会随价格路径而移动，而不仅仅随当前价格变化。
实际演示
在暴跌反弹路径与横盘路径之间切换。两条路径的终点价格相同，但产生的波动率微笑不同。拖动记忆滑块，查看回溯窗口的长度如何改变这一效应。
路径依赖波动率
在不同情景之间切换，可查看相同的当前价格如何因近期路径不同而产生不同的微笑曲线。拖动记忆滑块，可查看回溯窗口如何改变这一效果。
工作原理
1. 从价格路径中提取两个输入
PDV 将近期价格历史浓缩为两个数字：
2. 波动率是这两个输入的函数
模型的含义是：任一行权价上的隐含波动率，是当前现货价格加上这两个路径摘要的函数。没有随机波动率状态变量，没有分数阶微积分，也没有隐马尔可夫链。只需回答：价格在哪里，最近波动有多大，方向是什么？
3. 无需粗糙模型即可呈现粗糙波动率行为
这一设定能够再现几种公认的难题现象：
- 波动率聚集：高波动率会引发更高的波动率，因为近期已实现波动率会维持在高位
- 杠杆效应：下跌对波动率的推升大于上涨，因为趋势输入会让函数产生偏斜。由此产生的偏斜会随近期收益率而变化。
- 类似粗糙波动率的标度特性：波动率路径表现出的粗糙性，自然地源于路径依赖，无需分数布朗运动
- SPX/VIX 联合校准：该模型能够同时校准指数期权和 VIX 期权，而大多数模型做不到这一点
为什么这对加密资产很重要
加密市场的路径依赖性极强。一轮连环强制平仓之后，即使价格恢复，波动率也会在数天内维持高位。经过长时间的缓慢上涨后，波动率则会被压缩。PDV 直接捕捉了这一现象。传统模型对所有 60k 的 BTC 一视同仁，而 PDV 会区分从 70k 暴跌后的 60k 与从 50k 上涨后的 60k。这种区别对定价和Delta对冲都很重要。
PDV 与其他模型对比
优势与局限
最简单的路径依赖波动率模型
PDV 利用近期已实现波动率和近期趋势，解释随机波动率模型未能捕捉的微笑动态。它无需复杂数学，即可再现粗糙波动率、波动率聚集和杠杆效应。在 PDV 下，Vega 与 Black-Scholes 下的 Vega 不同，因为路径状态会改变微笑形态。代价是：模型较新，需要蒙特卡洛模拟，且结果依赖于回溯窗口的选择。
公式探索器
在隐含波动率、总方差、对数价值状态和期权价格之间进行换算。
公式探索器
💡 提示： 先尝试自己回答每个问题，再查看答案。
另请参阅：
- SABR 模型：无路径依赖的经典随机波动率模型
- Rough Bergomi：PDV 可以近似的分数阶波动率模型
- Heston 模型：均值回归的随机波动率模型（马尔可夫，无路径记忆）
- Neural SDE / 深度对冲：另一种数据驱动的波动率建模方法
- 波动率状态：理解 PDV 自然捕捉的市场波动率状态