非参数与机器学习模型
微笑曲线没有公式。这些模型借助优化方法、神经网络或路径依赖规则，直接从市场数据中学习曲面形状。
概览
共同点
这三种方法都让数据决定波动率曲面的形状，而不是强加一个公式。它们的区别在于学习方式以及所能提供的保证。
三者之间的关系
SANOS基于优化：它求解一个线性规划，在严格满足无套利约束的前提下，找到最贴合市场价格的曲面。没有神经网络，也无需训练，只是一个良定的凸优化问题。神经SDE采取相反的路线：由神经网络从数据中学习波动率动态，因此能捕捉任何闭式模型都无法表达的模式，但是否无套利取决于网络架构，默认并不保证。路径依赖波动率介于两者之间。它利用已实现的价格路径（通过签名方法）来预测当前波动率，因而具备SANOS所缺乏的动态解释，同时又不需要神经SDE那样繁重的训练基础设施。
本节模型：
- SANOS - 非参数无套利曲面
- 神经SDE / 深度对冲 - 机器学习习得的波动率动态
- 路径依赖波动率 - 波动率记住价格路径