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局部波动率

信息

本页介绍Dupire局部波动率模型。关于它在波动率曲面构建流程中的位置，请参阅曲面如何构建。关于与其他方法的比较，请参阅插值方法。

局部波动率是标的资产在特定价格水平和特定时间点的瞬时波动率。它是函数 σloc(S,t)\sigma_{\text{loc}}(S, t)，代入扩散模型后能够精确复现所有观测到的欧式期权价格。

这一思想由Bruno Dupire（1994）与Derman & Kani（1994）各自独立提出。它是唯一一个无需任何额外假设即可匹配完整隐含波动率曲面的模型。

隐含波动率与局部波动率​

核心洞见：隐含波动率是到期路径上各局部波动率的混合平均。局部波动率则是瞬时的、"逐点"的波动率。

隐含波动率 vs 局部波动率

典型的股票/加密货币微笑曲线。局部波动率高于隐含波动率，且形态更尖。
74%106%137%169%局部波动率隐含波动率-0.2-0.1ATM0.10.2对数价值状态 (k)波动率 (%)

局部波动率（实线）始终比隐含波动率（虚线）更尖。隐含波动率是路径上各局部波动率的加权平均。

在不同的微笑形态之间切换，您会注意到：

  • 局部波动率总是更尖锐。 由于隐含波动率是沿路径的平均，它会抹平极端值。局部波动率展示的是未经平均的原始图景。
  • 隐含偏斜越陡，局部波动率越剧烈。 在陡峭偏斜（危机）情形下，局部波动率在左翼急剧发散。这相当于模型在说："如果现货跌到那么低，瞬时波动率必须非常高，才能匹配观测到的看跌期权价格。"
  • 两者的关系类似于即期利率与远期利率。 隐含波动率相当于即期利率（从现在到到期的平均）。局部波动率相当于远期利率（未来某一时点的瞬时利率）。

局部波动率的含义​

想象标的资产价格在一片波动率地形中演化。在（价格，时间）空间的每个点上，都有一个特定的波动率。标的资产在其中游走时，会经历不同的瞬时波动率。

一个隐含波动率为50%的30天平值 (ATM) 期权，在其路径上可能经历40%到65%不等的局部波动率。这50%的隐含波动率就是所有这些局部波动率的风险中性平均值，权重为在每个水平上停留的时间。

这就解释了为什么两个行权价不同的期权即使依赖同一个标的过程，也会有不同的隐含波动率：它们穿越的是局部波动率地形的不同区域。

何时使用局部波动率​

奇异期权定价​

这是局部波动率的主要用途。工作流程如下：

  1. 观测市场上的欧式期权价格（或隐含波动率）
  2. 拟合一个无套利的隐含波动率曲面（使用SVI、SSVI或类似方法）
  3. 通过Dupire公式推导局部波动率曲面
  4. 基于局部波动率曲面构建数值定价引擎（有限差分PDE或蒙特卡洛）
  5. 让标的资产在局部波动率地形中演化，从而为奇异期权定价

保证： 在局部波动率下定价的任何奇异期权，都与所有观测到的欧式期权价格一致。您的障碍期权价格不会与普通期权相矛盾，这对对冲至关重要。

与曲面一致的希腊字母​

在局部波动率下计算的希腊字母考虑了波动率随现货变动而变化这一事实。局部波动率下的Delta与Black-Scholes Delta不同，因为模型"知道"移动到另一个现货水平意味着经历不同的局部波动率。这在概念上类似于Taleb所说的"影子Gamma"：由于现货变动导致波动率变化而带来的额外Delta变化。

动态问题​

局部波动率有一个众所周知的弱点：它预测的微笑动态是错误的。

在局部波动率下，波动率是现货的确定性函数。一旦知道现货在哪里，就能确切知道波动率是多少，波动率没有任何"意外"。这意味着：

  • 当现货下跌时，局部波动率认为在这个价格上波动率本来就该这么高，微笑会变得平坦。
  • 实际上，当现货下跌时，波动率的上升往往超过局部波动率的预测，微笑会变陡。

结果是：局部波动率会系统性地低估依赖未来微笑形态的期权价格（障碍期权、远期起始期权、棘轮期权）。

局部波动率与其他模型对比​

局部波动率SVISABR
是什么每个 (S, t) 处的瞬时波动率参数化微笑形态随机波动率模型
可观测？否（推导得出）否（拟合得出）否（拟合得出）
精确校准是（由构造保证）近似近似
微笑动态错误（确定性）未设定更好（随机）
奇异期权定价是（主要用途）否有限
速度慢（PDE/MC）快快（解析公式）
最适用于障碍期权、亚式期权、奇异期权普通期权定价、风险互换期权、外汇普通期权

与其他模型的联系​

隐含波动率到局部波动率： Dupire公式。需要无套利的隐含曲面作为输入。

局部波动率到隐含波动率： 在局部波动率曲面下求解前向PDE，为欧式期权定价，再反推隐含波动率。由构造保证，这一往返过程是精确的。

SABR与局部波动率： SABR的 β\beta 参数控制局部波动率的骨架（绝对波动率 ∼Fβ\sim F^\beta，因此百分比波动率 σloc∼Fβ−1\sigma_{\text{loc}} \sim F^{\beta - 1}），而 ν\nu 在其上叠加了一层随机性。SABR可以看作是带有额外动态的局部波动率参数化近似。

SVI与局部波动率： SVI给出隐含曲面，Dupire再由此给出局部波动率。整个链条为：市场报价 -> SVI拟合 -> 隐含曲面 -> Dupire -> 局部波动率 -> 奇异期权定价器。

建立数学直觉​

从零开始学习局部波动率交互式课程 · 涵盖 Dupire 公式

上方的互动课程从第一性原理讲解Dupire局部波动率模型：为什么隐含波动率是局部波动率的路径加权平均、Dupire公式如何从观测价格中提取局部波动率、隐含波动率微笑与局部波动率曲面之间的关系，以及为什么局部波动率对路径依赖型奇异期权的定价至关重要。

开源实现​

仓库为何值得研究
QuantLib带有限差分定价引擎的Dupire局部波动率
OpenGamma Strata基于市场数据构建局部波动率曲面
RustQuantRust实现的局部波动率定价

另请参阅：

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