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跳跃与肥尾模型

市场会跳空。一次协议漏洞攻击、一次出人意料的美联储决议、一轮连环清算，都可能引发跳空。随机波动率模型难以处理突发跳跃，跳跃模型则直接对其建模：价格在随机时刻瞬间移动到新的水平。

💡
获得肥尾的两种途径

随机波动率模型（Heston、SABR）让波动率本身随机变化，跳跃模型则让价格本身发生跳跃。真实市场中两种效应同时存在，生产系统通常会将二者结合使用。

概览​

模型
核心思想
最适用于
Black-Scholes 加上随机跳跃，最早的跳跃模型。
理解崩盘风险、短期限微笑曲线的陡峭程度
非对称跳跃，下跌幅度大于上涨幅度。
独立拟合左右两翼
纯跳跃，无扩散项。收益由随机时钟驱动。
无需随机波动率即可获得肥尾，学术基准模型。

共同之处​

这三种模型都通过允许价格跳跃来解释肥尾和陡峭的短期限微笑曲线。它们的区别在于跳跃分布，以及是否包含连续扩散项。

模型
跳跃分布
含扩散项？
闭式解？
两翼特征
Merton
对数正态（对称）
是
是（级数形式）
两翼对称加厚
Kou
双指数（非对称）
是
是
左右尾部相互独立
Variance Gamma
Gamma 从属布朗运动
否
是
由偏斜和峰度参数控制

模型之间的关系​

Merton 是最早的跳跃模型：在 Black-Scholes 的基础上加入服从对数正态分布的随机跳跃。由于跳跃是对称的，该模型会同等程度地加厚两侧尾部。Kou 将对数正态跳跃替换为双指数分布，从而为向上和向下的跳跃分别设定参数，崩盘幅度可以大于上涨幅度，弥补了这一不足。Variance Gamma 则另辟蹊径：它完全去掉扩散项，将收益建模为在随机时钟（Gamma 过程）上运行的布朗运动，所有价格变动都来自跳跃。这使其成为一个纯跳跃过程，峰度和偏斜参数直接控制尾部形状。

本节包含的模型：

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