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Bachelier（正态）模型

Bachelier（1900）是第一个期权定价模型，比 Black-Scholes 早了 73 年。在该模型中，价格变动是加性的，并服从正态分布。Bachelier 不对百分比收益建模（对数正态），而是对美元变动建模（正态）。价格可以变为负数：对股票而言这是缺陷，对利率而言却是优点。

该模型只有一个参数：正态波动率，以绝对值计量（例如"每年 $50"，而不是"每年 30%"）。模型中不存在微笑曲线。如果世界服从 Bachelier 模型，所有行权价的期权都会有相同的正态波动率。平坦的微笑曲线正是该模型的核心预测。

💡
偏斜可能是模型产物

Bachelier 从构造上就产生平坦的微笑曲线。把这些价格换算成 Black-Scholes 隐含波动率，您就会得到偏斜。这种偏斜并不存在于市场中，而是把对数正态数学强加于一个可能服从正态分布的世界所导致的结果。

探索模型​

蓝色平坦虚线代表 Bachelier 的视角：所有行权价使用同一个波动率。绿色曲线显示的是同一组期权价格以 Black-Scholes 术语重新表达的结果。降低现货价格，观察表观的 BS 偏斜如何变陡，尽管 Bachelier 世界中没有任何变化。

Bachelier 与 Black-Scholes 对比探索器

典型设置。Bachelier 微笑曲线按定义是平坦的。同样的价格以 BS 形式重新表达后会产生偏斜。
16%22%28%828894ATM106112118行权价隐含波动率BS 隐含波动率 (%)Bachelier（正态波动率）
正态波动率20
以 $/年 表示的绝对波动率（非百分比）
现货价格 (S)100
现货价格越低 = BS 表观偏斜越明显

平坦的蓝色虚线是 Bachelier 的视角：所有行权价使用同一个波动率。绿色曲线是同样的期权价格以 Black-Scholes 形式重新表达的结果。“偏斜”是模型产物，而非市场特征。

各参数的作用​

  • 正态波动率：唯一的参数。以每年的绝对价格单位计量（而非百分比）。正态波动率为 20 意味着预计价格在一年内变动 $20（一个标准差）。所有行权价都使用相同的波动率，微笑曲线是平坦的。
  • 现货价格：不会改变 Bachelier 微笑曲线（仍然平坦），但会显著影响 BS 等价微笑曲线。现货价格越低，相同的美元变动对应的百分比变动越大，因此 BS 隐含波动率上升，从而形成表观的看跌偏斜。

BS'偏斜'为何出现​

发生了什么
Bachelier 视角
BS 视角
ATM 期权定价
直接使用正态波动率
对数正态波动率约等于 normal_vol / spot
OTM 看跌期权（低行权价）
与 ATM 波动率相同
IV 更高，因为在较低价格上，相同的 $ 变动对应更大的 % 变动
OTM 看涨期权（高行权价）
与 ATM 波动率相同
IV 更低，因为在较高价格上，相同的 $ 变动对应更小的 % 变动
降低现货价格
微笑曲线保持平坦
整条曲线上移，看跌翼变陡
ℹ️
SABR 的 beta 决定骨架

SABR 的骨架（关闭波动率的波动率后的微笑曲线）取决于 beta。Beta = 0：Bachelier。Beta = 1：Black-Scholes。Beta 决定您在正态与对数正态谱系上的位置。

Bachelier 的应用场景​

市场
为何使用 Bachelier
正态波动率单位
利率互换期权
EUR、JPY、CHF 利率曾为负。BS 在零处失效，Bachelier 不会。
bps/年（例如 50 bps）
价差期权
价差可以为负。加性模型很自然。
$/年 或 bps/年
CDS 期权
信用利差天然适合用加性变动建模。
bps/年
加密（小众）
资金费率期权或基差期权，其标的资产可能为负。
%/年（绝对值）
⚠️
不适用于加密现货期权

加密现货价格为正，并表现出杠杆效应（价格下跌时波动率上升）。在这里，对数正态框架（Black-Scholes 家族）更为自然。Bachelier 适用于利率、价差以及任何可能为负的标的。

Bachelier 与 Black-Scholes 一览​

Bachelier
Black-Scholes
价格动态
加性（正态）
乘性（对数正态）
波动率单位
$/年（绝对值）
%/年（相对值）
允许负价格？
是（设计如此）
否（负数的对数无定义）
微笑曲线形态
按定义平坦
仅当世界真正服从对数正态时才平坦
参数
1（正态波动率）
1（对数正态波动率）
换算
σ_n ≈ σ_BS × S（ATM 附近）
σ_BS ≈ σ_n / S（ATM 附近）
适用于
利率、价差、CDS
股票、外汇、加密现货

换算公式​

在 ATM 附近，您可以在两者之间换算：

σnormal≈σBS×S\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S

一只价格为 100、BS波动率为30100、BS 波动率为 30% 的股票，正态波动率约为 30。但这一近似在远离 ATM 时会失效，这正是把 Bachelier 价格换算后会出现 BS'微笑'的原因。

💡
按定义平坦的微笑曲线

Bachelier 将价格变动视为加性。其微笑曲线按定义是平坦的。换算为 BS 术语后出现的偏斜是模型选择的产物，而不是市场特征。

公式探索器​

公式探索器

$
$
天
%
%
看涨期权价格
$8300
看跌期权价格
$7890
Call Δ
0.555
d₁
0.102
Vega
$114

继续学习前先测试你的理解。

Q: 为什么 Bachelier 产生平坦的微笑曲线，而 Black-Scholes 不会？
Q: 如果将 Bachelier 期权价格换算为 BS 隐含波动率，您会得到看跌偏斜。这种偏斜从何而来？
Q: 在加密领域，什么情况下应使用 Bachelier 而非 Black-Scholes？
Q: 在 ATM 附近，正态波动率与 BS 波动率之间是什么关系？

💡 提示： 先尝试自己回答每个问题，再查看答案。

建立数学直觉​

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本课程从通俗易懂的心智模型讲起，然后逐步介绍正态波动率、定价公式，以及为什么平坦的正态微笑曲线在换算为 Black-Scholes 术语后会表现为偏斜。

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